Eigenschaften von Zykloide und  Zykloidenpendel
Author: Roman Chijner, Heidelberg
Date: 14. Januar 2012

Was macht diese Objekte besonders interessant ?
 Erstens,die Zykloide (Abrollkurve) ist eine Lösung für Variationsprobleme (=> Brachistochrone). Gesucht wird die Bahn zwischen zwei Punkten längs der ein Teilchen mit der kürzesten Laufzeit unter dem Einfluss der Schwerkraft reibungsfrei gleitet. 
Zweitens, die Differentialgleichung dieser Bewegung entspricht einer harmonischen Schwingung mit stets gleicher Periodendauer, die unabhängig von der Anfangsauslenkung ist. 
Im Vergleich: Das mathematische Pendel hat diese Eigenschaft nur näherungsweise für kleine Auslenkwinkel, für die sin(φ) ≈ φ gilt. Das Applet simuliert einige Eigenschaften von Zykloide und Zykloidenpendel.

2

1

2*r→

pi*r

3

r

r

θ_1

Spirograph

Zykloide\;  in\; einer Parameterdarstellung:\

x = r (θ-sin(θ))\
y = r (1+ cos(θ))\
θ(t, θ_0) = 2*acos(\;cos(\frac{θ_0}{2}) *sin(\frac{2π}{T} t)\;)\
T=2 \pi\sqrt{\frac{4r}{g}} 

x

y_1

Zykloidenpendel

 Die Mittelpunkte der Krümmungskreise einer Zykloiden liegen 
vollständig auf ihrer Evolute, die ist selbst wieder eine Zykloide.
 http://de.wikipedia.org/wiki/Zykloide

Eigenschaften der Zykloide

Die Tautochronie der Zykloide 
Vorausgesetzt, dass Luftwiderstand und Reibung zu vernachlässigen sind, 
gelangt ein frei beweglicher Massepunkt von jedem Startpunkt auf einer  
Zykloide stets in derselben Zeit an den tiefsten Punkt. 
http://de.wikipedia.org/wiki/Zykloide => Die Tautochronie der Zykloide

Die Zykloide ist  eine Brachistochrone (gr. brachistos kürzeste, chronos Zeit),
die schnellste Verbindung zweier Punkte durch eine Bahn, auf der  ein
Massenpunkt unter dem Einfluss der Gravitationskraft reibungsfrei gleitet.
http://de.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone

Tautochronie der Zykloide

Eine gewöhnliche Zykloide entsteht,wenn ein Kreis auf einer Geraden abrollt.

Evolute

r*θ

r*θ

© Roman Chijner, Heidelberg, 2012

4

Brachistochrone curve

Zykloide

2pi* r

x_1

g = 10 (slider from 0 to 50, step 0.01)
r = 2.8 (slider from 0 to 5, step 0.1)
T: ((2 * π) * sqrt((4 * r / g)))
e = 0.03 (slider from 0.01 to 0.99, step 0.02)
Cu1 = CurveCartesian((r * (θ - sin(θ))), (r * (1 + cos(θ))), θ, 0, 6.28319)
fx(x) = (r * (x - sin(x)))
fy(x) = (r * (1 + cos(x)))
t = 3.927 (slider from 0 to T, step 0.001)
θ_{01} = 0 (slider from 0 to 6.283185307179586, step 0.1)
θ_{02} = 2.7 (slider from 0 to 6.283185307179586, step 0.1)
θ(x, y) = (2 * acos((cos(y / 2) * sin(((2 * π / T) * (x + T / 4))))))
A_2: (fx(θ(t, θ_{02})), fy(θ(t, θ_{02})))
A_1: (fx(θ(t, θ_{01})), fy(θ(t, θ_{01})))
L: ((2 * π) * r)
A = Point(Cu1)
B = Point(Cu1)
θ_{03} = 6.283185307179586 (slider from 0 to 6.283185307179586, step 0.01)
Cu3 = CurveCartesian((r * (θ - sin(θ))) + (π * r), (r * (1 + cos(θ))) + (2 * r), θ, -3.14159, 3.141592653589793)
C: ((π * r), (4 * r))
C1: ((π * r), 0)
v_t = 0.8 (slider from 0 to 10, step 0.1)
A_3: (fx(θ(t, θ_{03})), fy(θ(t, θ_{03})))
a = Segment(C, C1)
C2: ((π * r), r)
θ_1: θ(t, θ_{01})
D1: ((r * θ_1), r)
b = Segment(A_1, D1)
F: (x(D1), (2 * r))
c = Segment(D1, F)
θ11 = Angle(F, D1, A_1)
d = Circle(D1, r)
A1' = Rotate(F, (-θ_1), D1)
e_1 = Segment(A1', D1)
licht = If((abs(t - T / 4)  <  0.1) ∨ (abs(t - (3 * T / 4))  <  0.1), true, false)
h = OrthogonalLine(A_1, xAxis)
Sx_1 = Intersect(h, xAxis)
i = OrthogonalLine(A_1, a)
Sy = Intersect(yAxis, i)
j = Segment(Sy, A_1)
k = Segment(A_1, Sx_1)
D = Point(Cu1, e)
Kkr = OsculatingCircle(D, Cu1)
E = Point(Kkr)
G = Point(Kkr)
l = LineBisector(D, G)
m = LineBisector(G, E)
H = Intersect(m, l)
n = true
o3 = false
o4 = false
O = Intersect(yAxis, xAxis)
p = Segment(B, F)
f = CircleArc(D1, F, A_1)
A3 = 0
q1 = Segment(B, C1)
y4: ((-2 * g / (4 + π^(2))) * t^(2)) + (2 * r)
x4: ((g * π / (4 + π^(2))) * t^(2))
A_5: (x4, y4)
o2 = false
o1 = false
A_{21}: (fx(θ(0, θ_{02})), fy(θ(0, θ_{02})))
A_{211} = Mirror(A_{21}, a)
A_{31}: (fx(θ(0, θ_{03})), fy(θ(0, θ_{03})))
A_{311} = Mirror(A_{31}, a)
A_{11}: (fx(θ(0, θ_{01})), fy(θ(0, θ_{01})))
A_{111} = Mirror(A_{11}, a)
A_4: (x(A), 0)
Sx: (x(A_1), 0)
a_1 = Segment(O, Sx)
b_1 = Segment(O, Sy)
text1: "A_1=(r (θ_1 - sin(θ_1)),r (1 + cos(θ_1))) \\
x_1=" + (LaTeX[(r * (θ_1 - sin(θ_1)))]) + "\\
y_1=" + (LaTeX[(r * (1 + cos(θ_1)))]) + ""