Implizite Funktionen            

Auf dieser Seite wollen wir schrittweise, Methoden vorstellen, wie man mit GeoGebra implizite Funktionen darstellen kann. Da das Thema eng mit der Nullstellenproblematik zusammenhängt, wollen wir zunächst die relevanten Methoden der Nullstellensuche für eine Variable vorstellen und untersuchen, um sie dann für die 3D-Darstellung weiterzuentwickeln.
Es gab bereits einige Versuche, die Darstellung der impliziten Funktionen mit GeoGebra zu realisieren:  Hier und hier

Lesen Sie hier bitte unbedingt die technischen Hinweise.

Methode: Durch Abfrage einfachster Bedingungen (Größe von Funktionswerten) wird ein Punkt der Nullstenmenge zugeordnet oder nicht zugeordnet. Der Ort des Punktes wird als Parameter an den Ortslinienbefehl (Locus) übergeben, der diese Abfrage für den gesamten Parameterbereich durchführt und als Kurve alle Punkte liefern sollte, welche die Abfrage positiv erfüllen.
deutsch: Ortslinie[ <Punkt Q der die Ortslinie erzeugt>, <Schieberegler> ]
englisch: Locus[ <Point Creating Locus Line>, <Slider> ]

Wir haben unserer Methode "RootsByLocus" (kurz: "RbL") genannt, weil die einfache Bergiffverbindung "RootLocus"/"Root locus" bereits mit einer festen mathematischen Methode verknüpft ist:  Hier Download des Applets "RootsByLocus" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "RootsByLocus" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2)

Methode: Die GeoGebra-eigenen Befehle 'Nullstelle/Nullstellen' bzw. 'root/roots' werden verwendet und getestet.
deutsch: Nullstelle[ < Polynom > ] / Nullstelle[ < Funktion>, <Startwert>, <Endwert> ]
englisch: Root[ <Polynomial> ] / Roots[ <Function>, <Start x-Value>, <End x-Value> ]

Download des Applets "Nullstellenbefehle_1" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
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Download des Applets "Nullstellenbefehle_2" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)
Download des Applets "Nullstellenbefehle_2" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2)


GeoGebra erlaubt es, in Funktionen mit mehreren Variablen jede Variable als Parameter zu fixieren. Dieser Kunstgriff emöglicht die getrennte Abtastung bei der Suche nach Nullstellen in x- und y- Richtung. Das Verfahren wird zunächst als Idee im Modell vorgestellt, und danach für alle drei vorgestellen Methoden (Root / Roots / RootsByLocus) umgesetzt. In Schritt 3 wird es schließlich durch 'Schichtung' um die dritte Dimension erweitert.

Das folgende mit Archimedes-3D erstellte Bild und das mit GeoGebra 5.0 erstellte Applet zeigen, wie implizite Funktionen F(x,y)  = 0 als Schnittkurven von Ebenen mit räumlichen Funktionsgebilden des Typs z = f( x,y) entstehen.
Download des Applets "Nullstellenmodell"(ggb,GeoGebra Vers. 5.0)    
Download des Applets "Nullstellenmodell" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 5.0)

Diese Technik kann auch für "RootsByLocus" angewandt werden, wie das folgende Applet zeigt.

Die oben aus didaktischen Gründen getrennten Darstellungen von x-Scan und y-Scan ergänzen sich bei der Nullstellensuche und werden, wie im linken Bild zu sehen, immer beide gleichzeitig in den Applets benutzt.

Download des Applets "RootsByLocus-Nullstellensuche mit Ortslinien-2D" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "RootsByLocus-Nullstellensuche mit Ortslinien-2D" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2)

    Dieses Applet beinhaltet drei Darstellungsmethoden:
     1. a. Spur-Plotter für Linien
         b. Spur-Plotter für Linien mit Regionsfärbung nach Vorzeichen
     2. Plotter mit festen Linien
Download des Applets "RootsByLocus-Darstellung impliziter Funktionen 2D" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "RootsByLocus-Darstellung impliziter Funktionen_2D" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2)

Download des Applets "Root-2D-Plotter" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "Root-2D-Plotter" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2) Download des Applets "Roots-2D-Plotter" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "Roots-2D-Plotter" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2)

Download des Applets "Root-Roots-RootsByLocus-2D-Vergleich_1" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "Root-Roots-RootsByLocus-2D-Vergleich_1" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2)


Fazit: Nach ausführlichen Tests in unseren Applets haben wir uns entschieden, auf den Befehl Root[< Polynomial > ] zu verzichten, zumal er nur für Polynome anwendbar ist. Den Befehl Roots / Nullstellen und die von uns kreiierte Methode RootsByLocus werden wir weiterhin einsetzen. Es scheint, dass nach dem augenblicklichen Entwicklungsstand von GeoGebra 4/4.2 die Methode mit Roots schneller ist. Dennoch scheinen uns beide Methoden mit unterschiedlichen Vor- und Nachteilen geeignet zur Darstellung von impliziten Funktionen zu sein.
Download des Applets "Root-Roots-RootsByLocus-2D-Vergleich_2_Plotter" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "Root-Roots-RootsByLocus-2D-Vergleich_2_Plotter" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2)

Download des Applets "RootsByLocus-Gleichungssysteme mit 2 Variablen" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "RootsByLocus-Gleichungssysteme mit 2 Variablen" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2)

Seit GeoGebra 4.2 kann man auch den CAS-Befehl NLöse[..] / NSolve[..] in verschiedenen Varianten zur Gleichungslösung verwenden. Wir benutzen diesen Befehl, um die mit unseren graphischen Verfahren bestimmten Lösungen numerisch exakt zu bestimmen. Wenn man also auf Grund der Grafik an einer Stelle einen Lösungspunkt des Gleichungssystems vermutet, dann schiebe man den Testpunkt möglichst nahe an diese Stelle. Die Koordinaten des Testpunktes liefern dann die jeweiligen für den Befehl optionalen Startwerte. Eine gefundene numerische Lösung wird dann durch ein Koordinatenkreuz angezeigt.
Download des Applets "Roots und RbL_Gleichungssysteme_2_Variable_CAS" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "Roots und RbL_Gleichungssysteme_2_Variable_CAS" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2)

Ein zweites Grafikfenster zeigt eine Vergrößerung des in Grafik 1 ausgewählten Ausschnitts. Technischer Hinweis: Wenn das Applet bei geschlossenem Grafik 2-Fenster gespeichert wird, dann gehen Einträge für die Eckpunkte (Menue: Einstellungen > Erweitert > Eigenschaften-Grafik 2 > Dimensionen) verloren. Sie müssen dann nach einem Neustart von Hand restauriert werden. Also: Grafik-2 Fenster nicht unnötigerweise schließen ! Download des Applets "Roots und RbL_Gleichungssysteme_2_Variable_CAS_(Zoom)" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "Roots und RbL_Gleichungssysteme_2_Variable_CAS_(Zoom)" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2)

Bei diesem Applet ist zu beachten, dass in z-Richtung immer nur eine Schicht angezeigt wird. Nullstellen in benachbarten z‑Schichten werden dennoch mit CAS gefunden. Im zweiten Bild ist diese Räumlichkeit der Schichtung bei animierter z‑Koordinate im Spurplot zu erkennen. Download des Applets "Roots und RbL_Gleichungssysteme_3_Variable_CAS" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "Roots und RbL_Gleichungssysteme_3_Variable_CAS" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2)


Der Querschnittsplotter für polynomiale Funktionen enthält bereits 95 vordefinierte Funktionen, der Plotter für algebraische Funktionen beinhaltet 41 vordefinierte Funktionen. Die Projektionsachse x,y oder z ist frei wählbar.
Download des Applets "Querschnittsplotter-3D-polynomial" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "Querschnittsplotter-3D-polynomial" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2)
Download des Applets "Querschnittsplotter-3D-algebraisch" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "Querschnittsplotter-3D-algebraisch" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2)


Implizite Kurven kann man nicht so einfach bewegen, da es keinen direkten Zugriff auf ihre Punkte gibt. Versuche, den GeoGebra-Befehl MatrixAnwenden[ < Matrix >, <Objekt > ] / ApplyMatrix[ < Matrix >,< Object>] auch auf implizite Funktionen anzuwenden, scheiterten (Fehlermeldung mit GeoGebra 4.0). Die beiden folgenden Applets zeigen auf verschiedene Weisen, wie man dennoch implizite Funktionen mit der Methode der Funktionsabbildung verschieben und rotieren kann. Diese Technik wird in den folgenden Applets in erweiterter Form Anwendung finden. Download des Applets "Transformation und Rotation der Impliziten Funktion in 2D (1)" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "Transformation und Rotation der Impliziten Funktion in 2D (1)" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2)
Download des Applets "Transformation und Rotation der Impliziten Funktion in 2D (2)" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "Transformation und Rotation der Impliziten Funktion in 2D (2)" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2)



Dieses Applet gibt die Möglichkeit mit der "RootsByLocus"-Methode einerseits bewegliche Ortskurven andererseits unbewegliche Spurplots zu erstellen. Die Auflösung für die festen Ortskurven sollte behutsam gesteigert werden. Eine Auflösung von mehr als 50 Kurven kann kaum erreicht werden, da diese Methode sehr speicherfressend ist. Das linke Bild zeigt bereits das Maximale an Auflösung (N=50), das erreichbar ist. Die Auflösung für den Spurplot hingegen kann großzügiger gehandhabt werden. Das rechte Bild wurde als Spurplot mit der Auflösung (N=400) erstellt.
Schichtungsaufbau: Oberfläche als drehbares Ortskurven-Netz mit Schichtung entlang beweglicher positiver x – Achse
Funktionseingabe: algebraische 1-12 / polynomiale 1-13 (vordefiniert)
Färbungsoptionen Kurvenplot und Spurplot:  listenweise
Zusatzinfo:  Der Parameter ε dient wie oben (2.1) der Genauigkeit. Zum Vergleich ist auch die Methode Roots wählbar.
Download des Applets "3D-Plotter-implizite Funktionen mit RootsByLocus" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "3D-Plotter-implizite Funktionen mit RootsByLocus" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2) Bildergalerie: "3D-Plotter für implizite Funktionen mit RootsByLocus"
Technischer Hinweis zur Galerie: "Um alle Bilder auf der Auswahlleiste erreichen zu können, muss eventuell die Anzeigeautomatik ausgeschaltet werden"

Schichtungsaufbau:  in x, y oder z -Richtung (hin/her) entlang der auswählten beweglichen Achse
Funktionseingabe: eine Funktion (vordefiniert)
Färbungsoptionen:  1 x listenweise / 7 x punktweise Download des Applets "3D-Plotter für implizite Funktionen 1" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "3D-Plotter für implizite Funktionen 1" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2) Bildergalerie: "3D_Plotter_implizite_Funktionen_1"

Schichtungsaufbau: in x-Richtung (hin/her)
Funktionseingabe: eine Funktion (vordefiniert) mit zusätzlicher Schnittebene
Färbungsoptionen:  2 x listenweise Download des Applets "3D-Plotter für implizite Funktionen 2" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "3D-Plotter für implizite Funktionen 2" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2) Bildergalerie: "3D_Plotter_implizite_Funktionen_2"

Schichtungsaufbau: in x-Richtung (hin/her)
Funktionseingabe: eine Funktion (vordefiniert) mit zusätzlicher Schnittebene
Färbungsoptionen: 2 x listenweise und 10 x punktweise Download des Applets "3D-Plotter für implizite Funktionen 3" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "3D-Plotter für implizite Funktionen 3" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2) Bildergalerie: "3D_Plotter_implizite_Funktionen_3"

Schichtungsaufbau:  in x-Richtung (hin/her)
Funktionseingabe:  zwei Oberflächen gleichzeitig (vordefiniert) mit zusätzlicher Schnittebene
Färbungsoptionen: erste Öberfäche 10 x punktweise und 1 x listenweise; zweite Oberfläche und Schnittebene 1 x listenweise Download des Applets "3D-Plotter für implizite Funktionen 4" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "3D-Plotter für implizite Funktionen 4" als html-Seite (html,GeoGebra Vers.4.2) Bildergalerie: "3D_Plotter_implizite_Funktionen_4"

Technische Hinweise (bewegliche Kurvenplots) : Die folgenden Applets melden bei manchen Kurvenplots Java-Script Fehler (Handling von leeren Mengen ?). Diese Fehlermeldungen (Es können viele sein !) können weggeklickt werden, ohne dass das Applet abstürzt. Besser ist es, wenn zuerst die Kurven mit der ersten Funktionsnummer eines Typs bei der gewünschten Einstellung geplottet werden. Danach kann die jeweils gewünschte Kurve ausgesucht, oder direkt im Eingabefenster (Input) überschrieben, und ohne Fehlermeldung geplottet werden. Die zuerst geplottete Kurve darf nicht mit "delete" gelöscht werden, sie wird automatisch überschrieben. Der Fehler betrifft nur die beweglichen Kurvenplots, nicht die Spurplots. Wir hoffen auf baldige Lösungen durch Zusammenarbeit mit den GeoGebra-Entwicklern.
Schichtungsaufbau: Oberfläche als drehbares Punkte-Netz, Schichtung in x-Richtung (hin/her)
Funktionseingabe: algebraische 1-14 / polynomiale 1-14 (vordefiniert)
Färbungsoptionen Kurvenplotter: 2 x listenweise
Färbungsoptionen Spurplotter: 2 x listenweise / 13 x punktweise Download des Applets "3D-Plotter für implizite Funktionen 5a" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "3D-Plotter für implizite Funktionen 5a" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2)

Schichtungsaufbau:  mit automatischer Auswahl der Animationsrichtung: x oder y
Funktionseingabe: algebraische 1-12 / polynomiale 1-12 (vordefiniert)
Färbungsoptionen Kurvenplotter: 2 x listenweise
Färbungsoptionen Spurplotter: 2 x listenweise / 13 x punktweise Download des Applets "3D-Plotter für implizite Funktionen 5b" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "3D-Plotter für implizite Funktionen 5b" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2) Bildergalerie: "3D_Plotter_implizite_Funktionen_5a+b"

Schichtungsaufbau: Oberfläche als drehbares Punkte-Netz mit Schichtung entlang beweglicher x-Achse
Funktionseingabe: algebraische 1-14 / polynomiale 1-14 (vordefiniert)
Färbungsoptionen: 2 x listenweise
Zusatzinfo: Dieses Applet benötigt, abhängig von der Auflösung, sehr viel Rechenzeit
Download des Applets "3D-Plotter für implizite Funktionen 5c" (ggb,GeoGebra Version 5.0)    
Download des Applets "3D-Plotter für implizite Funktionen 5c" als html-Seite (html,GeoGebra Version 5.0) Bildergalerie: "3D_Plotter_implizite_Funktionen_5c"




Schichtungsaufbau:  drehbares Netz, entstanden durch Funktionsabbildung mit Schichtung entlang unbeweglicher x'-Achse
Funktionseingabe:  polynomiale 1-14 (vordefiniert)
Färbungsoptionen Kurvenplotter: 3 x listenweise Färbungsoptionen Spurplotter: 2 x listenweise
Download des Applets "3D-Plotter für implizite Funktionen 6" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "3D-Plotter für implizite Funktionen 6" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2) Bildergalerie: "3D_Plotter_implizite_Funktionen_6"

Schichtungsaufbau: drehbares Ortskurven-Netz mit Schichtung entlang beweglicher x-Achse (hin/her)
Funktionseingabe:  polynomial 1-15 (vordefiniert)
Färbungsoptionen Kurvenplotter: 3 x listenweise
Färbungsoptionen Spurplotter: 2 x listenweise / 1 x punktweise Download des Applets "3D-Plotter für implizite Funktionen 7" (ggb,GeoGebra Vers. 4.2)    
Download des Applets "3D-Plotter für implizite Funktionen 7" als html-Seite (html,GeoGebra Vers. 4.2) Bildergalerie 1: "3D_Plotter_implizite_Funktionen_7x"
Bildergalerie 2: "3D_Plotter_implizite_Funktionen_7x"