Dreicksform

#0000ff

\mathbf

#cc00ff

#0ff0cf

#ff0000

Seitenverhältnisse im Dreieck

#0000ff

#ff00ff

#ff0000

\textcolor{#00cc00}

\textcolor{#cc00ff}

α

#00cc00

Werner Knobloch, 2013

\mathbf {\text{Mit diesem Applet kann man folgende Sachverhalte zeigen: }}\   \text{} \  \text{1. Bei ähnlichen Dreiecken hängen bestimmte Seitenverhältnisse nicht von der Größe der Dreiecke ab. }\ \text{    Hierzu bewege man bei fest eingestelltem Regler 'Dreicksform' die hellgrünen Punkte und beobachte dabei die}  \ \text{    verschiedenen Seitenverhältnisse in der Tabelle.(Tabelle 1)   Die bei den Operationen mit den hellgrünen  }\ \text{    Punkten entstehenden Dreieck sind alle ähnlich.   } \\text{ } \     \text{2. Wenn man den Regler für die Dreiecksform langsam an das rechte Ende schiebt, dann gehen die  }\ \text{    Funktionsgraphen  für die Seitenverhältnisse in die bekannten trigonometrischen Beziehungen über. (Tabelle 1) } \   \textcolor{ff0000}{ \text {    Die Werte für die trigonometrischen Funktionen eines Winkels α  können also in einem } \mathbf{ \text{beliebig großen}} \    \text{    rechtwinkligen Dreieck durch Seitenmessung und Division ermittelt werden, wenn das rechtwinklige } \  \text{    Dreieck diesen Winkel als Bezugswinkel enthält.} } \         \text {    Dazu braucht man weder eine Tabelle der trigonometrischen Funktionen, noch einen Taschenrechner, } \  \text{    noch irgendwelche vorgegebenen Seitenlängen in einem Dreieck . }\ \text{ } \   \textcolor{#ff0000}{ \text{    Interessant ist , dass man die Vorstufen des Kurvenverlaufs der trigonometrischen Funktionen  bereits bei }\   \text{    den nichtrechtwinkligen Dreiecken erkennt. Dieser Sachverhalt wird in den Schulen bei der Einführung }\  \text{    der trigonometrischen Funktionen leider kaum thematisiert.} }\ \text{ } \   \text {    Die Erweiterungen der trigonometrischen Funktionen auf Winkel über 90° am Einheitskreis, sind natürlich für  }\  \text{    Winkel unter 90° kompatibel zu den Definitionen im rechtwinkligen Dreieck.} \ \text{ }  \text{} \ \text {3. Nur für Fortgeschrittene:  Der Cosinus-Satz geht in den Satz des Pythagoras als Sonderfall über. (Tabelle 2)} \ \text{} \ \mathbf {\text{Technische Hinweise: }}\ \text{} \ \text { - Die hellgrünen Punkte sind mit der Maus verschiebbar.}\ \text { - Die Tabellen können ebenso mit der Maus verschoben werden oder per Regler ausgeblendet werden.}\ \text { - Die Tabellen bitte nicht auf  absolute Bildschirmposition markieren, sonst verliert der Hinweis auf einen }\  \text {   rechten Winkel in C seine Tabellenanbindung !}\

redundant

Hinführung zu den trigonometrischen Funktionen

Tabelle = 1 (slider from 0 to 2, step 1)
FarbCodePfeil = If(Tabelle ≟ 1, "#6fef00", "#efff00")
Tabellenlänge = 13 (slider from 2 to 90, step 1)
step = Element(Division[90, Tabellenlänge], 1)
Start = 0
α = 0.9424777960769379 rad (slider from 0*° to 90*°, step step°)
C = (3.9, 3.3)
A = (-1.88, -0.5)
E'_2 = Rotate(C, (-α), A)
D' = Rotate(A, α, A)
d' = Ray(D', E'_2)
γ_1 = 1.5707963267948966 rad (slider from 5*° to 90*°, step 1*°)
D'_1 = Rotate(A, γ_1, C)
E'_1 = Rotate(C, (-γ_1), C)
e'_1 = Ray(E'_1, D'_1)
B = Intersect(d', e'_1)
γ = Angle(A, C, B)
FarbCodeHex_γ = If(γ_1 ≟ 90°, "#ff0000", "#00BfBf")
FarbeHex_γ: "\textcolor{" + FarbCodeHex_γ + "}"
FarbeHex_α: "\textcolor{" + FarbCodeHex_α + "}"
FarbeHex_c: "\textcolor{" + FarbCodeHex_c + "}"
Basis = 16
HexZiffern_1 = Sequence(UnicodeToLetter[j + 47 + (7 * (j > 10)) + (26 * (j > 16))], j, 1, 22)
HexZiffernWerte = Sequence(Mod[j, Basis + 1] - 1 + (11 * (j > Basis)), j, 1, Basis + Basis - 10)
Farben_c = Sequence(Sum[Sequence[(Basis^(2 - j) * Element[HexZiffernWerte, IndexOf[Take[FarbCodeHex_c, j + k, j + k], HexZiffern_1]]), j, 1, 2]], k, 1, 6, 2)
Hypotenuse = If(γ_1 ≟ 90°, "Hypot.", "\space")
b = Segment(A, C)
cFolge0 = Sequence((b * sin(γ_1) / sin(180° - α° - γ_1)), α, Start, 90, step)
alphaFolge_0 = Sequence(α, α, Start, 90, step)
LL = Length(alphaFolge_0)
cFolgeFarbe = Sequence((FarbeHex_c * "{") + (Element[cFolge0, j]) + "}", j, 1, LL)
FarbeHex_b: "\textcolor{" + FarbCodeHex_b + "}"
bFolge0 = Sequence(Length[b], α, Start, 90, step)
FarbeHex_a: "\textcolor{" + FarbCodeHex_a + "}"
aFolge0 = Sequence((b * sin(α°) / sin(180° - α° - γ_1)), α, Start, 90, step)
TabPos3: (Corner[headline, 1] + Corner[headline, 2]) / 2 + (-1, 0)
FarbeHexCosinus: "\textcolor{" + FarbCodeCosinusHex + "}"
FarbeHexTangens: "\textcolor{" + FarbCodeTangensHex + "}"
FarbeHexSinus: "\textcolor{" + FarbCodeSinusHex + "}"
Farben_α = Sequence(Sum[Sequence[(Basis^(2 - j) * Element[HexZiffernWerte, IndexOf[Take[FarbCodeHex_α, j + k, j + k], HexZiffern_1]]), j, 1, 2]], k, 1, 6, 2)
Farben_γ = Sequence(Sum[Sequence[(Basis^(2 - j) * Element[HexZiffernWerte, IndexOf[Take[FarbCodeHex_γ, j + k, j + k], HexZiffern_1]]), j, 1, 2]], k, 1, 6, 2)
cotα = If(γ_1 ≟ 90°, "cot(α)", "\space")
cosα = If(γ_1 ≟ 90°, "cos(α)", "\space")
sinα = If(γ_1 ≟ 90°, "sin(α)", "\space")
tanα = If(γ_1 ≟ 90°, "tan(α)", "\space")
Kathete = If(γ_1 ≟ 90°, "Kath.", "\space")
KatheteQuadrat = If(γ_1 ≟ 90°, "Kath.^2", "\space")
CosinusSatz = If(γ_1 ≟ 90°, "Pythagoras", "Cosinus-Satz")
HypotenuseQuadrat = If(γ_1 ≟ 90°, "Hypot.^2", "\space")
cosgammaFolge = Append("", Append[(("\mathbf" * FarbeHex_γ) * "{ cos(γ)}"), Sequence[(FarbeHex_γ * "{") + (cos(γ_1)) + "}", α, Start, 90, step]])
aHoch2FolgeFarbe = Sequence((FarbeHex_a * "{") + (Element[aFolge0, j]^(2)) + "}", j, 1, LL)
Farben_b = Sequence(Sum[Sequence[(Basis^(2 - j) * Element[HexZiffernWerte, IndexOf[Take[FarbCodeHex_b, j + k, j + k], HexZiffern_1]]), j, 1, 2]], k, 1, 6, 2)
Quotientenfolge_{a,b}0Farbe = Sequence((FarbeHexTangens * "{") + (Element[aFolge0, j] / Element[bFolge0, j]) + "}", j, 1, LL)
Quotientenfolge_{b,a}0Farbe = Sequence((FarbeHexCotangens * "{") + (Element[bFolge0, j] / Element[aFolge0, j]) + "}", j, 1, LL)
Korrektur0 = Sequence((((2 * Element[aFolge0, j]) * Element[bFolge0, j]) * cos(γ_1)), j, 1, LL)
KorrekturFolgeFarbe = Sequence((FarbeHex_γ * "{") + (Element[Korrektur0, j]) + "}", j, 1, LL)
bHoch2FolgeFarbe = Sequence((FarbeHex_b * "{") + (Element[bFolge0, j]^(2)) + "}", j, 1, LL)
cosinusSatzFolgeFarbe = Sequence("" + FarbeHex_γ + "{" + (Element[aFolge0, j]^(2) + Element[bFolge0, j]^(2) - (((2 * Element[aFolge0, j]) * Element[bFolge0, j]) * cos(γ_1))) + "}", j, 1, LL)
Quotientenfolge_{b,c}0Farbe = Sequence((FarbeHexCosinus * "{") + (Element[bFolge0, j] / Element[cFolge0, j]) + "}", j, 1, LL)
Quotientenfolge_{a,c}0Farbe = Sequence((FarbeHexSinus * "{") + (Element[aFolge0, j] / Element[cFolge0, j]) + "}", j, 1, LL)
aFolgeFarbe = Sequence((FarbeHex_a * "{") + (Element[aFolge0, j]) + "}", j, 1, LL)
bFolgeFarbe = Sequence((FarbeHex_b * "{") + (Element[bFolge0, j]) + "}", j, 1, LL)
Quotientenfolge_{b,c} = Append(((bold * FarbeHexCosinus) * "{") + cosα + "}", Append[((bold * FarbeHexCosinus) * "{b : c}"), Quotientenfolge_{b,c}0Farbe])
cosinusSatzFolge = Append(((bold * FarbeHex_γ) * "{") + CosinusSatz + "}", Append[((bold * FarbeHex_γ) * "{a^2+b^2-2abcos(γ)}"), cosinusSatzFolgeFarbe])
bHoch2Folge = Append(((bold * FarbeHex_b) * "{") + KatheteQuadrat + "}", Append[((bold * FarbeHex_b) * "{b^2}"), bHoch2FolgeFarbe])
Quotientenfolge_{a,b} = Append(((bold * FarbeHexTangens) * "{") + tanα + "}", Append[((bold * FarbeHexTangens) * "{a : b}"), Quotientenfolge_{a,b}0Farbe])
Quotientenfolge_{a,c} = Append(((bold * FarbeHexSinus) * "{") + sinα + "}", Append[((bold * FarbeHexSinus) * "{a : c}"), Quotientenfolge_{a,c}0Farbe])
Quotientenfolge_{b,a} = Append(((bold * FarbeHexCotangens) * "{") + cotα + "}", Append[((bold * FarbeHexCotangens) * "{b : a}"), Quotientenfolge_{b,a}0Farbe])
bFolge = Append(((bold * FarbeHex_b) * "{") + Kathete + "}", Append[((bold * FarbeHex_b) * "b"), bFolgeFarbe])
aHoch2Folge = Append(((bold * FarbeHex_a) * "{") + KatheteQuadrat + "}", Append[((bold * FarbeHex_a) * "{a^2}"), aHoch2FolgeFarbe])
aFolge = Append(((bold * FarbeHex_a) * "{") + Kathete + "}", Append[((bold * FarbeHex_a) * "a"), aFolgeFarbe])
KorrekturFolge = Append("", Append[((bold * FarbeHex_γ) * "{2abcos(γ)}"), KorrekturFolgeFarbe])
cHoch2FolgeFarbe = Sequence((FarbeHex_c * "{") + (Element[cFolge0, j]^(2)) + "}", j, 1, LL)
cFolge = Append(((bold * FarbeHex_c) * "{") + Hypotenuse + "}", Append[((bold * FarbeHex_c) * "c"), cFolgeFarbe])
alphaFolge = Append("", Append[(("\mathbf " * FarbeHex_α) * "α"), Sequence[(FarbeHex_α * "{") + (α) + "}", α, Start, 90, step]])
gammaFolge = Append("", Append[(("\mathbf " * FarbeHex_γ) * "γ"), Sequence[(FarbeHex_γ * "{") + γ_1 + "}", α, Start, 90, step]])
Pfeilspalte = Sequence(If[Winkel° ≟ α, "\bgcolor{" + FarbCodePfeil + "}{\mathbf{→}}", ""], Winkel, Start - (2 * step), 90, step)
cHoch2Folge = Append(((bold * FarbeHex_c) * "{") + HypotenuseQuadrat + "}", Append[((bold * FarbeHex_c) * "{c^2}"), cHoch2FolgeFarbe])
Tabelle1 = TableText({Pfeilspalte, alphaFolge, aFolge, bFolge, cFolge, cHoch2Folge, Quotientenfolge_{a,c}, Quotientenfolge_{b,c}, Quotientenfolge_{a,b}, Quotientenfolge_{b,a}}, "|_cv")
Tabelle2: "" + (LaTeX[TableText[{Pfeilspalte, alphaFolge, aFolge, bFolge, cFolge, Quotientenfolge_{a,c}, Quotientenfolge_{b,c}, Quotientenfolge_{a,b}, Quotientenfolge_{b,a}, {}, gammaFolge, cosgammaFolge, aHoch2Folge, bHoch2Folge, cHoch2Folge, KorrekturFolge, cosinusSatzFolge}, "|_cv"]]) + ""
AlphabetUnicodesBasis = Sequence(j + 47 + (7 * (j > 10)), j, 1, Basis)
Quotientenfolge_{b,a}0: bFolge0 / aFolge0
φ: 180° - α - γ_1
d = Ray(A, C)
e = Ray(C, A)
E' = Rotate(C, γ_1, C)
a = Segment(C, B)
c = Segment(A, B)
i: (b * sin(γ_1) / sin(φ))
j: (b * sin(α) / sin(φ))
Test: 90° - α
ζ = Angle(B, A, C)
β' = Angle(C, B, A)
Scale_x = 0.049999999999999996 (slider from 0.01 to 0.1, step 0.01)
Scale_y = 2.1 (slider from 1 to 5, step 0.1)
Pos = (-3, -8.22)
D: Pos + ((Scale_x * 90), 0)
E: Pos + (0, (2 * Scale_y))
F: Pos + (0, (2.5 * Scale_y))
v = Vector(Pos, F)
H: Pos + ((Scale_x * 90), 0) + (0.5, 0)
u = Vector(Pos, H)
Text1 = Text("α", H + (0, (-0.3)))
Text5 = Text("|", D + (0, (-0.1)))
Text6 = Text("90", D + (0, (-0.4)))
Text3 = Text("1 -", (E + Pos) / 2 + ((-0.3), (-0.05)))
Text2 = Text("2 -", E + ((-0.3), (-0.05)))
Quotientenfolge_{b,c}0: bFolge0 / cFolge0
Quotientenfolge_{a,b}0: aFolge0 / bFolge0
Quotientenfolge_{a,c}0: aFolge0 / cFolge0
Punkte_{a,b}: Pos + Sequence[((Scale_x * Element[alphaFolge_0, j]), (Scale_y * Element[Quotientenfolge_{a,b}0, j])), j, 1, LL]
Punkte_{b,a}: Pos + Sequence[((Scale_x * Element[alphaFolge_0, j]), (Scale_y * Element[Quotientenfolge_{b,a}0, j])), j, 1, LL]
Punkte_{a,c}: Pos + Sequence[((Scale_x * Element[alphaFolge_0, j]), (Scale_y * Element[Quotientenfolge_{a,c}0, j])), j, 1, LL]
Punkte_{b,c}: Pos + Sequence[((Scale_x * Element[alphaFolge_0, j]), (Scale_y * Element[Quotientenfolge_{b,c}0, j])), j, 1, LL]
FarbenUpercaseCosinus = Sequence(IndexOf[Mod[Element[TextToUnicode[Take[FarbCodeCosinusHex, 2, 7]], j], 97] + ((Element[TextToUnicode[Take[FarbCodeCosinusHex, 2, 7]], j] > 97) * 65), AlphabetUnicodesBasis] - 1, j, 1, 6)
FarbenCosinus: {(Element[FarbenUpercaseCosinus, 1] * 16) + Element[FarbenUpercaseCosinus, 2], (Element[FarbenUpercaseCosinus, 3] * 16) + Element[FarbenUpercaseCosinus, 4], (Element[FarbenUpercaseCosinus, 5] * 16) + Element[FarbenUpercaseCosinus, 6]}
FarbenUpercaseSinus = Sequence(IndexOf[Mod[Element[TextToUnicode[Take[FarbCodeSinusHex, 2, 7]], j], 97] + ((Element[TextToUnicode[Take[FarbCodeSinusHex, 2, 7]], j] > 97) * 65), AlphabetUnicodesBasis] - 1, j, 1, 6)
FarbenUpercaseTangens = Sequence(IndexOf[Mod[Element[TextToUnicode[Take[FarbCodeTangensHex, 2, 7]], j], 97] + ((Element[TextToUnicode[Take[FarbCodeTangensHex, 2, 7]], j] > 97) * 65), AlphabetUnicodesBasis] - 1, j, 1, 6)
FarbenUpercaseCotangens = Sequence(IndexOf[Mod[Element[TextToUnicode[Take[FarbCodeCotangensHex, 2, 7]], j], 97] + ((Element[TextToUnicode[Take[FarbCodeCotangensHex, 2, 7]], j] > 97) * 65), AlphabetUnicodesBasis] - 1, j, 1, 6)
FarbenSinus: {(Element[FarbenUpercaseSinus, 1] * 16) + Element[FarbenUpercaseSinus, 2], (Element[FarbenUpercaseSinus, 3] * 16) + Element[FarbenUpercaseSinus, 4], (Element[FarbenUpercaseSinus, 5] * 16) + Element[FarbenUpercaseSinus, 6]}
FarbenCotangens: {(Element[FarbenUpercaseCotangens, 1] * 16) + Element[FarbenUpercaseCotangens, 2], (Element[FarbenUpercaseCotangens, 3] * 16) + Element[FarbenUpercaseCotangens, 4], (Element[FarbenUpercaseCotangens, 5] * 16) + Element[FarbenUpercaseCotangens, 6]}
FarbenTangens: {(Element[FarbenUpercaseTangens, 1] * 16) + Element[FarbenUpercaseTangens, 2], (Element[FarbenUpercaseTangens, 3] * 16) + Element[FarbenUpercaseTangens, 4], (Element[FarbenUpercaseTangens, 5] * 16) + Element[FarbenUpercaseTangens, 6]}
cosinusSatzFolge0 = Sequence(Element[aFolge0, j]^(2) + Element[bFolge0, j]^(2) - (((2 * Element[aFolge0, j]) * Element[bFolge0, j]) * cos(γ_1)), j, 1, LL)
Rand = 0.4
Pos1: Pos + ((-Rand), (-Rand))
H1: H + (Rand, (-Rand))
F1: F + ((-Rand), Rand)
F0: (x(H1), y(F1))
Vieleck1 = Polygon({Pos1, H1, F0, F1})
TabTitelPos = If(Tabelle ≟ 2, (Corner[Tabelle2, 4] + Corner[Tabelle2, 3]) / 2 + ((-1.4), 0.5), If[Tabelle ≟ 1, (Corner[Tabelle1, 4] + Corner[Tabelle1, 3]) / 2 + ((-1.4), 0.5), TabPos3])
Text4 = Text("rechter Winkel in C", TabTitelPos)
Funktionsgraph = true
Hinweise = false
Upercase(x) = If[(96  <  x) ∧ (x  <  123) ∨ (223  <  x) ∧ (x  <  256), x - 32,x]
HexZiffernUnicodes = Sequence(j + 47 + (7 * (j > 10)) + ((97 - Basis - 48 - 7) * (j > Basis)), j, 1, (2 * Basis) - 10)
HexZiffern_2 = Sequence(UnicodeToLetter[Element[HexZiffernUnicodes, j]], j, 1, (2 * Basis) - 10)
FarbCodeHex_aRot = Take(FarbCodeHex_a, 2, 3)
FarbCodeHex_aGrün = Take(FarbCodeHex_a, 4, 5)
FarbCodeHex_aBlau = Take(FarbCodeHex_a, 6, 7)
Liste1 = Sum(Sequence[(Basis^(2 - j) * Element[HexZiffernWerte, IndexOf[Take[FarbCodeHex_a, j + 1, j + 1], HexZiffern_1]]), j, 1, 2])
Farben_a = Sequence(Sum[Sequence[(Basis^(2 - j) * Element[HexZiffernWerte, IndexOf[Take[FarbCodeHex_a, j + k, j + k], HexZiffern_1]]), j, 1, 2]], k, 1, 6, 2)
farben_a: Farben_a / 255
farben_b: Farben_b / 255
farben_c: Farben_c / 255
farben_α: Farben_α / 255
farben_γ: Farben_γ / 255
gammaFolge_0 = Sequence(γ, α, Start, 90, step)
gammaFolgeFarbe = Sequence((FarbeHex_γ * "{") + γ_1 + "}", α, Start, 90, step)
Pfeilspalte_{alt} = Sequence(If[Winkel° ≟ α, " \bgcolor{" + FarbCodePfeil + "} \mathbf {→}", ""], Winkel, Start - (2 * step), 90, step)