Kombinatorik
Author: Werner Knobloch

\textcolor{#000000}

\bar V(n,k)

V(n,k)

C(n,k)

\bar C(n,k)

\textcolor{#990099}

\textcolor{#009900} 

\textcolor{#FF0000} 

\textcolor{#0000FF}

Werner Knobloch, 2011

Algorithmen: mathmagic, \; Geogebra\;  Forum

 Kombinatorik

 \text {Problematik: Aus einer Menge von n Elementen in einer Urne sollen k-Elemente zufällig}\
 \text {herausgegriffen werden.}

 \text {Es zeigt sich, dass die Anzahl der möglichen Ergebnisse davon abhängt, ob man jedes }\
 \text {gezogene Element sofort wieder zurücklegt, oder mit der Ziehung ohne Zurücklegen fortfährt.}\
 \text {Außerdem hängt die Anzahl der möglichen Ziehungsergebnisse davon ab, ob man die Reihenfolge}\
 \text {der gezogene Elemente beachtet oder sich nur für die mengenmäßige Gleichheit interessiert.}

\text {Dieses Applet zeigt im Algebrafenster für kleine Werte von n und k }\
 \text {die vollständigen Ergebnislisten in Matrixform.}

 \text {Beispiel: Lottoziehung 6 aus 49  => C(49,6) }

\textcolor{#0000ff}  \text{ Eine Variation ohne Zurücklegen vom Typ n=k nennt man eine }{\textcolor{#ff0000} {Permutation}: V(n,n) = n!}

Start = 1 (slider from 0 to 5, step 1)
n = 4 (slider from 1 to 5, step 1)
k = 2 (slider from 1 to n, step 1)
f_{VAR}mitZ(n, k) = n^(k)
Anzahl_{VAR}mitZ: f_{VAR}mitZ(n, k)
f_{Komb}mitZ(n, k) = (n - 1 + k)! / (((n - 1)! * k!))
f_{Komb}ohneZ(n, k) = n! / (((n - k)! * k!))
Anzahl_{Komb}ohneZ: f_{Komb}ohneZ(n, k)
f_{VAR}ohneZ(n, k) = n! / (n - k)!
Anzahl_{VAR}ohneZ: f_{VAR}ohneZ(n, k)
Anzahl_{Komb}mitZ: f_{Komb}mitZ(n, k)
Liste_{VAR}mitZ: Sequence[Sequence[Mod[Div[i, n^(j)], n], j, k - 1, 0, -1], i, 0, n^(k) - 1] + Start
Liste_{VAR}ohneZ = RemoveUndefined(Zip[If[Length[L] ≟ Length[Unique[L]], L], L, Liste_{VAR}mitZ])
L_{VAR}ohneZ = Length(Liste_{VAR}ohneZ)
Text5_1 = LaTeX(Anzahl_{VAR}mitZ, true, true)
Text17_1 = LaTeX(Anzahl_{Komb}ohneZ, true, true)
Text9_1 = LaTeX(Anzahl_{VAR}ohneZ, true, true)
Text13_1 = LaTeX(Anzahl_{Komb}mitZ, true, true)
Text10_1 = LaTeX(L_{VAR}ohneZ, true, true)
L_{VAR}mitZ = Length(Liste_{VAR}mitZ)
Text6_1 = LaTeX(L_{VAR}mitZ, true, true)
Liste_{Komb}ohneZ: RemoveUndefined[Sequence[If[esC[Sequence[Mod[Div[i, n^(j)], n], j, k - 1, 0, -1]], Sequence[Mod[Div[i, n^(j)], n], j, k - 1, 0, -1]], i, 0, n^(k) - 1]] + Start
L_{Komb}ohneZ = Length(Liste_{Komb}ohneZ)
Text18_1 = LaTeX(L_{Komb}ohneZ, true, true)
Text7_1 = LaTeX(f_{VAR}mitZ, true, true)
Text19_1 = LaTeX(f_{Komb}ohneZ, true, true)
Text11_1 = LaTeX(f_{VAR}ohneZ, true, true)
Text1: "" + (LaTeX[Schwarz]) + "{Formelwert}"
Text15_1 = LaTeX(f_{Komb}mitZ, true, true)
Text2: "" + (LaTeX[Schwarz]) + "{Länge[Liste]}"
Text3: "" + (LaTeX[Schwarz]) + "{Formel}"
Liste_{Komb}mitZ: RemoveUndefined[Sequence[If[esCR[Sequence[Mod[Div[i, n^(j)], n], j, k - 1, 0, -1]], Sequence[Mod[Div[i, n^(j)], n], j, k - 1, 0, -1]], i, 0, n^(k) - 1]] + Start
L_{Komb}mitZ = Length(Liste_{Komb}mitZ)
Text14_1 = LaTeX(L_{Komb}mitZ, true, true)
Text4: "" + (LaTeX[Schwarz]) + "{Symbol}"
Text21: "" + (LaTeX[Pink]) + "{" + (LaTeX[Text1]) + "}"
Text5: "" + (LaTeX[Grün]) + "{" + (LaTeX[Text5_1]) + "}"
Text6: "" + (LaTeX[Grün]) + "{" + (LaTeX[Text6_1]) + "}"
Text7: "" + (LaTeX[Grün]) + "{" + (LaTeX[Text7_1]) + "}"
Text8: "" + (LaTeX[Grün]) + "{" + (LaTeX[Text8_1]) + "}"
Text9: "" + (LaTeX[Blau]) + "{" + (LaTeX[Text9_1]) + "}"
Text10: "" + (LaTeX[Blau]) + "{" + (LaTeX[Text10_1]) + "}"
Text11: "" + (LaTeX[Blau]) + "{" + (LaTeX[Text11_1]) + "}"
Text12: "" + (LaTeX[Blau]) + "{" + (LaTeX[Text12_1]) + "}"
Text13: "" + (LaTeX[Pink]) + "{" + (LaTeX[Text13_1]) + "}"
Text14: "" + (LaTeX[Pink]) + "{" + (LaTeX[Text14_1]) + "}"
Text15: "" + (LaTeX[Pink]) + "{" + (LaTeX[Text15_1]) + "}"
Text20: "" + (LaTeX[Rot]) + "{" + (LaTeX[Text20_1]) + " }"
Text18: "" + (LaTeX[Rot]) + "{ " + (LaTeX[Text18_1]) + "}"
Text17: "" + (LaTeX[Rot]) + "{" + (LaTeX[Text17_1]) + "}"
Text19: "" + (LaTeX[Rot]) + "{" + (LaTeX[Text19_1]) + "}"
Text16: "" + (LaTeX[Pink]) + "{" + (LaTeX[Text16_1]) + "}"
Liste1: {"", "mit Beachtung der Reihenfolge", "ohne Beachtung der Reihenfolge"}
Liste2: {"ohne Zurücklegen", "" + (LaTeX[Blau]) + "Variation\; \; " + (LaTeX[Text12]) + "", "" + (LaTeX[Rot]) + "{Kombination }\; \;  " + (LaTeX[Text20]) + ""}
Liste3: {"mit Zurücklegen", "" + (LaTeX[Grün]) + "{Variation}\; \;  " + (LaTeX[Text8]) + "", "" + (LaTeX[Pink]) + "{Kombination}\; \; " + (LaTeX[Text16]) + ""}
Text29 = TableText({Liste1, Liste2, Liste3}, "|_h")
Liste4: {Text1, Text2, Text3, Text4}
Liste5: {Text9, Text10, Text11, Text12}
Liste6: {Text5, Text6, Text7, Text8}
Liste7: {Text17, Text18, Text19, Text20}
Liste8: {Text13, Text14, Text15, Text16}
Text26 = TableText({Liste4, Liste5, Liste6, Liste7, Liste8}, "|_h")

Tool: esC
test for conbinations
Input: list1
Output: a

list1: {3, 3}
a: Sum[Sequence[If[Element[list1, j]  <  Element[list1, j + 1], 0, 1], j, 1, Length[list1] - 1]] ≟ 0

Tool: esCR
test for conbinations with repetitions
Input: list1
Output: b

list1: {3, 3}
b: Sum[Sequence[If[Element[list1, j] ≤ Element[list1, j + 1], 0, 1], j, 1, Length[list1] - 1]] ≟ 0